Dreisatz einfach erklärt
Beim Dreisatz rechnet man in drei Schritten von einer bekannten Größe auf die Einheit und dann auf die gesuchte Größe. Proportional: X = B × C ÷ A. Antiproportional: X = A × B ÷ C.
Wofür braucht man den Dreisatz?
Der Dreisatz löst alle Aufgaben, bei denen zwei Größen in einem festen Verhältnis zueinander stehen: Menge und Preis, Strecke und Benzinverbrauch, Arbeiter und Arbeitszeit, Zutaten und Portionen. Drei Werte sind bekannt, der vierte wird gesucht – daher der Name.
Vor dem Rechnen steht eine Frage: Wenn die eine Größe wächst, wächst dann die andere auch (proportional) oder wird sie kleiner (antiproportional)? Von der Antwort hängt ab, ob man im zweiten Schritt teilt oder malnimmt.
Proportionaler Dreisatz
Je mehr, desto mehr: Doppelt so viel Ware kostet doppelt so viel. Die drei Schritte heißen Aussagesatz, Schluss auf die Einheit und Schluss auf das Vielfache.
- 3 kg kosten 4,50 €.
- 1 kg kostet 4,50 ÷ 3 = 1,50 €.
- 7 kg kosten 1,50 × 7 = 10,50 €.
Kurzform: X = B × C ÷ A = 4,50 × 7 ÷ 3. Diese Formel benutzt auch der Rechner.
Antiproportionaler Dreisatz
Je mehr, desto weniger: Mehr Arbeiter brauchen weniger Tage, ein schnelleres Auto braucht weniger Zeit. Hier wird im zweiten Schritt malgenommen statt geteilt.
- 4 Arbeiter brauchen 6 Tage.
- 1 Arbeiter braucht 4 × 6 = 24 Tage.
- 3 Arbeiter brauchen 24 ÷ 3 = 8 Tage.
Kurzform: X = A × B ÷ C = 4 × 6 ÷ 3.
Weitere Beispiele aus dem Alltag
Benzinverbrauch
Ein Auto braucht auf 100 km 6,5 Liter. Für 340 km braucht es 6,5 × 340 ÷ 100 = 22,1 Liter (proportional).
Rezept umrechnen
Ein Kuchenrezept für 4 Personen braucht 250 g Mehl. Für 6 Personen: 250 × 6 ÷ 4 = 375 g (proportional).
Geschwindigkeit und Fahrzeit
Bei 80 km/h dauert eine Strecke 3 Stunden. Bei 120 km/h: 80 × 3 ÷ 120 = 2 Stunden (antiproportional).
Vorräte
Futter reicht für 12 Tiere 10 Tage. Bei 15 Tieren reicht es 12 × 10 ÷ 15 = 8 Tage (antiproportional).
Prozentrechnung mit Dreisatz
Jede Prozentaufgabe ist ein proportionaler Dreisatz mit 100 % als einer der Größen. 100 % sind 150, wie viel sind 20 %? 150 ÷ 100 × 20 = 30. Und rückwärts: 30 sind 20 %, wie viel sind 100 %? 30 ÷ 20 × 100 = 150. Genau so rechnet der Prozentrechner.
Zusammengesetzter Dreisatz
Ändern sich zwei Größen gleichzeitig, rechnet man zwei Dreisätze nacheinander. Beispiel: 4 Maschinen stellen in 5 Stunden 200 Teile her. Wie viele Teile stellen 6 Maschinen in 8 Stunden her? Erst die Maschinen (proportional): 200 × 6 ÷ 4 = 300 Teile in 5 Stunden. Dann die Zeit (proportional): 300 × 8 ÷ 5 = 480 Teile.
Dreisatz als Tabelle
Viele Lehrer zeigen den Dreisatz als Tabelle mit zwei Spalten. Links steht die eine Größe, rechts die andere; in jeder Zeile wird links und rechts mit derselben Zahl gerechnet. Beim proportionalen Dreisatz wird auf beiden Seiten dasselbe getan (beide ÷ 3, beide × 7), beim antiproportionalen das Gegenteil (links ÷ 4, rechts × 4).
| Menge (kg) | Preis | Rechenschritt |
|---|---|---|
| 3 | 4,50 € | Ausgangssatz |
| 1 | 1,50 € | beide Seiten ÷ 3 |
| 7 | 10,50 € | beide Seiten × 7 |
| Arbeiter | Tage | Rechenschritt |
|---|---|---|
| 4 | 6 | Ausgangssatz |
| 1 | 24 | links ÷ 4, rechts × 4 |
| 3 | 8 | links × 3, rechts ÷ 3 |
Dreisatz bei Währungen
Wechselkurse sind ein typischer proportionaler Dreisatz. Bekommen Sie für 100 € 108 US-Dollar, dann sind 350 € gleich 108 × 350 ÷ 100 = 378 Dollar. Rückwärts sind 250 Dollar gleich 100 × 250 ÷ 108 = 231,48 €.
Dreisatz in Schule und Beruf
In der Schule kommt der Dreisatz meist in der 7. Klasse dran, zusammen mit Zuordnungen und Proportionalität. Später taucht er überall wieder auf: in der Prozentrechnung, bei Maßstäben auf Landkarten, in Chemie bei Mischungen und in Physik bei gleichförmigen Bewegungen. Im Beruf rechnen Köche Rezepte um, Handwerker Material pro Quadratmeter, Pflegekräfte Dosierungen pro Kilogramm Körpergewicht und Kaufleute Preise pro Stück.
Ein Beispiel mit Maßstab: Auf einer Karte im Maßstab 1 : 25.000 sind 4 cm gemessen. In Wirklichkeit sind das 4 × 25.000 = 100.000 cm, also 1 km. Ein Beispiel mit Fläche: Für 12 m² Boden braucht man 3 Pakete Laminat; für 38 m² braucht man 3 × 38 ÷ 12 = 9,5 Pakete – also 10 Pakete, weil man nur ganze Pakete kaufen kann. Runden Sie in solchen Fällen immer nach oben.
Ein Tipp für die Prüfung: Schreiben Sie den Aussagesatz immer so, dass die gesuchte Größe rechts steht. Dann steht das Ergebnis am Ende auch rechts, und Sie verwechseln die Spalten nicht. Und prüfen Sie das Ergebnis mit gesundem Menschenverstand: Wenn mehr Arbeiter länger brauchen, ist etwas schiefgelaufen.
Wann der Dreisatz nicht passt
Der Dreisatz setzt ein festes Verhältnis voraus. Bei Mengenrabatten, Grundgebühren oder Staffelpreisen stimmt das nicht: Kostet ein Handyvertrag 10 € Grundgebühr plus 0,09 € pro Minute, kosten 200 Minuten nicht doppelt so viel wie 100 Minuten. Rechnen Sie dann die feste und die veränderliche Größe getrennt.
Übungsaufgaben mit Lösungen
- 5 Hefte kosten 6,25 €. Was kosten 12 Hefte? Lösung: 6,25 × 12 ÷ 5 = 15,00 €.
- Ein Drucker schafft 18 Seiten in 2 Minuten. Wie viele in 15 Minuten? Lösung: 135 Seiten.
- 6 Pumpen leeren ein Becken in 9 Stunden. Wie lange brauchen 4 Pumpen? Lösung: 6 × 9 ÷ 4 = 13,5 Stunden.
- Ein Vorrat reicht 20 Personen 15 Tage. Wie lange reicht er 25 Personen? Lösung: 12 Tage.
Typische Fehler
- Proportional und antiproportional verwechseln – erst überlegen, dann rechnen.
- Einheiten mischen: Minuten und Stunden, Gramm und Kilogramm vorher angleichen.
- Zwischenergebnisse zu früh runden.
Häufige Fragen
Woran erkenne ich einen antiproportionalen Dreisatz?
Wenn „mehr“ auf der einen Seite „weniger“ auf der anderen bedeutet (mehr Arbeiter → weniger Tage).
Wie lautet die Formel für den Dreisatz?
Proportional: X = B × C ÷ A. Antiproportional: X = A × B ÷ C.